机器学习中的数学和统计学原理

author: ZH | date: 2023-11-24 | category: 机器学习专栏

引言

机器学习是一门通过计算机系统从数据中学习并提取模式的领域，而这背后的数学和统计学原理是支撑整个机器学习过程的基石。在本文中，我们将深入探讨一些关键的概念，包括随机变量、无偏估计量、贝叶斯准则、参数估计和极大似然估计。

机器学习

随机变量

在机器学习中，我们经常面对不确定性和随机性。随机变量是对随机现象进行建模的数学工具。一个随机变量可以取多个可能的值，每个值发生的概率由其概率分布确定。随机变量是描述随机现象的数学抽象。在机器学习中，它是对可能取多个值的变量的建模方式。举例来说，投掷一个骰子的结果就是一个随机变量，因为它可能是1、2、3、4、5或6。
随机变量的概念起源于概率论的发展过程，早在17世纪的巴舍利·帕斯卡和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯等人就开始研究概率的基本概念，为后来的随机变量理论奠定了基础。

基本概念

随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。离散随机变量只能取有限或可数无限个值，而连续随机变量则可以取无限个值中的任意一个。概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）是描述随机变量的核心工具。

无偏估计量

在统计学中，我们通常需要从样本中估计总体参数。一个估计量被称为“无偏”的，如果其期望值等于被估计的参数。无偏估计量的使用有助于减小估计误差，提高模型的准确性。无偏估计量是一种用于估计总体参数的方法，其期望值等于被估计参数的真实值。简单来说，它是一种能够在多次估计中平均地接近真实值的估计方法。

无偏估计量的概念早在18世纪就有了初步的探讨，但其系统的理论发展始于20世纪。统计学家如拉阿布·贝叶斯和卡尔·皮尔逊对无偏性进行了深入研究，为后来的统计理论奠定了基础。

基本概念

一个估计量被称为无偏估计量，如果其期望值等于被估计的参数。无偏估计量的使用有助于减小估计误差，提高模型的准确性。

无偏估计量的数学定义如下：

$\text{E}(\hat{\theta}) = \theta$

其中 $\text{E}(\hat{\theta})$ 表示估计量 $\hat{\theta}$ 的期望值， $\theta$ 是真实的总体参数。

贝叶斯准则

贝叶斯准则是基于贝叶斯概率理论的一种推断方法。它描述了在观察到新数据后，我们如何更新对事件概率的信念。贝叶斯方法在处理不确定性和更新模型时特别有用。贝叶斯准则是一种用于更新信念或概率的方法。简单来说，它允许我们在观察到新数据后调整我们对事件发生概率的看法。类似于更新我们的信念，这使得我们能够更准确地预测事件的发生概率。

贝叶斯准则得名于18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯。他在未发表的论文中首次提出了这个准则。然而，真正的发展要归功于后来的数学家和统计学家，特别是在20世纪中期的贝叶斯统计学的复兴中。

基本概念

贝叶斯准则建立在贝叶斯统计学的基础上，它引入了先验概率和似然性，通过贝叶斯公式计算后验概率。先验概率是基于以往知识或信念的初始概率，而似然性是新数据出现的条件下观察到的概率。通过结合这两者，我们可以得到更准确的后验概率。

贝叶斯公式表达如下：

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$

其中：

$P(A|B)$ 是在观察到B后A的后验概率。
$P(B|A)$ 是在A发生的情况下观察到B的概率，称为似然性。
$P(A)$ 是A的先验概率。
$P(B)$ 是B的先验概率。

贝叶斯准则通过这个公式实现了对先验概率和似然性的有效组合，从而得到更新后的后验概率。

参数估计

参数估计是从样本中计算总体参数的过程。我们使用统计量来估计总体参数，例如均值、方差等。合理的参数估计对于构建有效的机器学习模型至关重要。参数估计是从样本中计算总体参数的过程。在机器学习中，我们使用统计量来估计总体参数，例如均值、方差等。通过样本统计量的计算，我们能够推断总体的特征。

参数估计是统计学中的基础概念之一，其理论和方法在20世纪得到了深化和发展。著名的统计学家如罗纳德·费舍尔和杰拉尔德·伯克利为参数估计方法的发展做出了巨大贡献。

基本概念

参数估计的核心思想是利用样本数据来推断总体的未知参数。常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。点估计给出一个具体的估计值，而区间估计提供一个估计值的范围。

参数估计的一般形式可以表示为：

$\hat{\theta} = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

其中 $\hat{\theta}$ 是参数的估计值， $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是样本数据。

极大似然估计

极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其目标是选择参数值，使得观察到的样本数据的似然性最大。似然性描述了数据在给定参数下发生的可能性，极大似然估计通过最大化这一可能性来确定参数。

结论

机器学习中的数学和统计学原理为模型的训练和推断提供了坚实的理论基础。通过理解随机变量、无偏估计量、贝叶斯准则、参数估计和极大似然估计等概念，我们能够更好地设计和优化机器学习算法。